Número natural

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Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera del conjunto de los números: (0)*, 1, 2, 3, 4, 5..., que se pueden usar para contar los elementos del mismo u otro conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Existe cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

Contenido

[editar] Definiciones no matemáticas

La Real Academia Española los define como "cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." ^[1]
Definición de número: símbolo que indica una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.
Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenían a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc. Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc. Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.
Definición de natural: según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar.

[editar] Postulados de Peano

Los Postulados de Peano describen la estructura Números Naturales sin necesitad de otra teoría alguna (por ejemplo Teoría de Conjuntos) y ajena de las definiciones aritméticas de suma o equivalencia, de la siguiente forma:

0 es un símbolo que cumple la propiedad de ser un Número Natural. (Nótese que 0 no tiene que significar nada en lo absoluto, bien puede ser una manzana, el conjunto vacío, el uno en los reales o cualquier otra cosa)
Si $α$ es un Número Natural, entonces el símbolo $σ(α)$ representa a un Número Natural distinto de $α$ , cuyo significado será: aquél Número Natural que sucede al Número Natural $α$ . (Nótese en este postulado que el significado del símbolo, otra vez, es independiente de la notación, este postulado nos permite construir nuevos Números Naturales, encerrándolos entre el los símbolos $σ($ y $)$ )
el símbolo 0 no tiene la forma $σ(α)$ para $α$ un Número Natural, por lo tanto, no existe un Número Natural $α$ tal que el símbolo 0 represente al mismo objeto que $σ(α)$ (A este postulado se le conoce con el nombre de Principio del Buen Orden, pues garantiza un elemento inicial)
Si $α$ y $β$ son Número Naturales distintos, entonces los Números Naturales $σ(α)$ y $σ(β)$ también son distintos. (En Teoría de Conjuntos este postulado se leería como: $σ$ es una función inyectiva)
Si S es una colección o grupo tal que:
1. 0 forma parte de $S$ y,
2. para cada $α$ elemento de $S$ , $α$ es un Número Natural y además, el Número Natural $σ(α)$ forma parte de $S$ ,

entonces

S

representa a la colección o grupo de todos los Números Naturales.

A este último postulado se le conoce también con el nombre de inducción matemática. Se viene utilizando de modo más o menos informal desde la antigüedad (Euclides, Al-Karaji) y fue definida con más precisión por Francesco Maurolico, Jakob Bernoulli, Pascal y Fermat. Peano incorporó la inducción como un axioma de su sistema, como único medio para poder demostrar propiedades, incluso muy básicas, de los números naturales. Sin embargo, el principio de inducción matemática es más complejo que el resto de los axiomas. En términos de lógica, es el único clasificable como lógica de segundo orden, en tanto que los demás axiomas son de lógica de primer orden. Se han propuesto sistemas axiomáticos más débiles, que prescinden del principio de inducción (aritmética de Robinson).

[editar] Operaciones con los números naturales

Las operaciones que se pueden realizar con el conjunto de los números naturales son: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

La resta es la operación inversa a la suma de la misma manera que la división es la inversa de la multiplicaciones, es decir,

si a+b = c, entonces b = c - a;

No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número al que se le resta el otro, es mayor.

Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado, -15, no está dentro del conjunto de los números naturales.

Tanto la suma como la multiplicación tienen dos características, son operaciones conmutativas y asociativas, es decir,

Conmutativa: El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a y a×b = b×a

Asociativa: Para sumar dos o más sumandos hace falta agruparlos de dos en dos, de cualquier forma, ya que no altera el resultado, (a+b)+c=a+(b+c).

[editar] Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto $x$ se dice que es un número natural si cumple

Para cada $y\in x$ , $y\subseteq x$
La relación $\in _x = \left\{\left(a,b\right)\in x\times x \mid a\in b\right\}$ es un orden total estricto en $x$
Todo subconjunto no vacío de $x$ tiene elementos mínimo y máximo en el orden $\in _x$

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que $\emptyset$ no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por $0$ y que cada número natural $n$ tiene un sucesor denotado como $n +$ . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

$0=\emptyset$

$n^+=n\cup \{n\}$

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

Por definición $0 = {}$ (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces $1=0^+=\emptyset\cup\{0\}=\{0\}$
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces $2=1^+=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$
y en general

$3=\{0,1,2\}\,$

$4=\{0,1,2,3\}\,$

$5=\{0,1,2,3,4\}\,$

$\vdots$

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

$a\leq b \iff a\subseteq b$

es decir que un número $a$ es menor o igual que $b$ si y sólo si $b$ contiene a todos los elementos de $a$ .

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así $a<b\,$ si y sólo si $a\in b$ .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si $A$ es un conjunto inductivo, entonces $\mathbb{N}\subseteq A$ . Esto significa que, en efecto, $\mathbb{N}$ es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante las expresiones:

$a+0 = a \,$

$a+b^+=(a+b)^+ \,$

Lo que convierte a los números naturales $(\mathbb{N}, +)$ en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

$a\times 0 = 0$

$a\times b^+=(a\times b)+a$

Esto convierte $(\mathbb{N}, \times)$ (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

[editar] Propiedades de los números naturales

La suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se expresa como sigue:

$a\times(b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

Los números naturales están totalmente ordenados; La relación de orden $a\leq b$ se puede redefinir como $a\leq b$ si y sólo si existe otro número natural $c$ que cumple: $a + c = b$ . Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:

si $a$ , $b$ y $c$ son números naturales y $a\leq b$ , entonces

$a+c\leq b+c$ y

$a\times c\leq b\times c$

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Para cualesquiera dos números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que

$a = (b\times q) + r$ y

r < b

El número q lo llamamos el cociente y r el resto. Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

Una propiedad interesante es que cualquier conjunto $A$ es un conjunto isomorfo a $\mathbb{N}$ si es no vacío, totalmente ordenado por $\leq$ y cumple:

Para cualquier $a\in A$ existe $b\in A$ de manera que $a < b$
Cualquier subconjunto $B\neq\emptyset$ de $A$ tiene un elemento máximo

[editar] Uso de los números naturales

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de [cardinal]. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.