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Este Cmap, tiene información relacionada con: 5.3 Y 5.4, Calcular una aproximación del laplaciano de una función F(x, y) en el punto (x, y) = (0, 0) conociendo los siguientes valores: F(0, 0) = 0, F( 1 2 , 0) = 1 4 , F(−1 2 , 0) = 1 4 , F(0, 1 2 ) = 1 4 , F(0, −1 2 ) = 1 4 , F( 1 2 , 1 2 ) = 1 2 , F(−1 2 , −1 2 ) = 1 2 , F(−1 2 , 1 2 ) = 1 2 , F( 1 2 , −1 2 ) = 1 2 ???? Siguiendo el desarrollo de Taylor mostrado anteriormente, obtenemos la siguiente expresión, Cuando la longitud de los subintervalos no es} igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: Acontiniacion Veamos Como Se aplica Esta Regla: 1 .- Simpson 3/8 Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados. 2 .- Simpson 1/3 Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados. 3 .- Regla Trapezoidal Solo se aplica si no se cumple (1) y (2), 5.3 Integración con intervalos desiguales ???? Cuando la longitud de los subintervalos no es} igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico:, Diferenciación numérica en dimensiones superiores Definicion la aproximación de las derivadas de una función de varias variables. Para simplificar la exposición, supondremos que la dimensión es 2. Para discretizar las derivadas de una función F(x, y), se utilizan los desarrollos de Taylor siguientes en 2 variables., Fy utilizando 1 4h −(2 − √2) 2(√2 − 1) −(2 − √2) 0 0 0 (2 − √2) −2(√2 − 1) (2 − √2) ???? Demostrar que las máscaras Fx = 1 4h − ¡ 2 − √2 ¢ 0 ¡ 2 − √2 ¢ −2 ¡√2 − 1 ¢ 0 2 ¡√2 − 1 ¢ − ¡ 2 − √2 ¢ 0 ¡ 2 − √2 ¢, Calcular una aproximación de la derivada primera y segunda de una función f(x) en x = 0, teniendo en cuenta que f(0) = 1, f(1) = 0, f(4) = 9 ???? 5.4, 5.4 Prestaremos particular atención a dos operadores diferenciales se utilizan con frecuencia en la práctica: El gradiente ∇F(x, y)=(Fx(x, y), Fy(x, y)), que es el vector de derivadas parciales, y el Laplaciano ∆F(x, y) = Fxx(x, y) + Fyy(x, y). Utilizaremos la notación Fi,j = F(hi, lj)., la aproximación de las derivadas de una función de varias variables. Para simplificar la exposición, supondremos que la dimensión es 2. Para discretizar las derivadas de una función F(x, y), se utilizan los desarrollos de Taylor siguientes en 2 variables. ???? Fx = ∂F (x,y) ∂x , Fy = ∂F (x,y) ∂y , Fxx = ∂2F (x,y) ∂x2 , Fxy = ∂2F (x,y) ∂x∂y , Fyy = ∂2F (x,y) ∂y2 1, Siguiendo el desarrollo de Taylor mostrado anteriormente, obtenemos la siguiente expresión ???? (Fi,j )x = (1 − γ) (Fi+1,j − Fi−1,j ) 2h + +γ (Fi+1,j+1 − Fi−1,j+1 + Fi+1,j−1 − Fi−1,j−1) 4h (Fi,j )y = (1 − γ) (Fi,j+1 − Fi,j−1) 2h + +γ (Fi+1,j+1 − Fi+1,j−1 + Fi−1,j+1 − Fi−1,j−1) 4h, máscara 1 4h −(2 − √2) 0 (2 − √2) −2(√2 − 1) 0 2(√2 − 1) −(2 − √2) 0 (2 − √2) ???? Fy utilizando 1 4h −(2 − √2) 2(√2 − 1) −(2 − √2) 0 0 0 (2 − √2) −2(√2 − 1) (2 − √2), Demostrar que las máscaras Fx = 1 4h − ¡ 2 − √2 ¢ 0 ¡ 2 − √2 ¢ −2 ¡√2 − 1 ¢ 0 2 ¡√2 − 1 ¢ − ¡ 2 − √2 ¢ 0 ¡ 2 − √2 ¢ ???? Fy = 1 4h − ¡ 2 − √2 ¢ −2 ¡√2 − 1 ¢ − ¡ 2 − √2 ¢ 0 0 0 ¡ 2 − √2 ¢ 2 ¡√2 − 1 ¢ ¡ 2 − √2 ¢ dan lugar a una discretización del gradiente tal que su norma euclídea es invariante por rotaciones de 45 grados., donde γ es, de nuevo, un parámetro a elegir. Teniendo en cuenta que la norma euclídea es invariante por rotaciones, lo será en particular para rotaciones de 45 grados, de donde deducimos, utilizando el mismo argumento que para el ∆F, que γ = 2 − √ 2. Por lo tanto, estamos calculando Fx utilizando la máscara máscara 1 4h −(2 − √2) 0 (2 − √2) −2(√2 − 1) 0 2(√2 − 1) −(2 − √2) 0 (2 − √2), 5.4 ???? Diferenciación numérica en dimensiones superiores, Fx = ∂F (x,y) ∂x , Fy = ∂F (x,y) ∂y , Fxx = ∂2F (x,y) ∂x2 , Fxy = ∂2F (x,y) ∂x∂y , Fyy = ∂2F (x,y) ∂y2 1 ???? . F(x + h, y) = F + hFx + h2 2 Fxx + O(h3) 2. F(x − h, y) = F − hFx + h2 2 Fxx + O(h3) 3. F(x, y + l) = F + lFy + l 2 2 Fyy + O(l 3) 4. F(x, y − l) = F − lFy + l 2 2 Fyy + O(l 3) 5. F(x+h, y +l) = F +hFx +lFy + 1 2 (h2Fxx + 2hlFxy + l 2Fyy) + O( ¡ h2 + l 2¢ 3 2 ), se utilizan con frecuencia en la práctica: El gradiente ∇F(x, y)=(Fx(x, y), Fy(x, y)), que es el vector de derivadas parciales, y el Laplaciano ∆F(x, y) = Fxx(x, y) + Fyy(x, y). Utilizaremos la notación Fi,j = F(hi, lj). A continuacion se nos presenta un ejemplo con sus respectivas formulas y desarrollo Calcular una aproximación del laplaciano de una función F(x, y) en el punto (x, y) = (0, 0) conociendo los siguientes valores: F(0, 0) = 0, F( 1 2 , 0) = 1 4 , F(−1 2 , 0) = 1 4 , F(0, 1 2 ) = 1 4 , F(0, −1 2 ) = 1 4 , F( 1 2 , 1 2 ) = 1 2 , F(−1 2 , −1 2 ) = 1 2 , F(−1 2 , 1 2 ) = 1 2 , F( 1 2 , −1 2 ) = 1 2, (Fi,j )x = (1 − γ) (Fi+1,j − Fi−1,j ) 2h + +γ (Fi+1,j+1 − Fi−1,j+1 + Fi+1,j−1 − Fi−1,j−1) 4h (Fi,j )y = (1 − γ) (Fi,j+1 − Fi,j−1) 2h + +γ (Fi+1,j+1 − Fi+1,j−1 + Fi−1,j+1 − Fi−1,j−1) 4h ???? donde γ es, de nuevo, un parámetro a elegir. Teniendo en cuenta que la norma euclídea